1 Derivadas parciais

1.0.1 Introdução

As derivadas parciais são a generalização das derivadas ordinárias para funções de várias variáveis. Elas medem como a função varia em relação a cada variável, mantendo as outras constantes: derivamos uma variável por vez.

Formalmente, a derivada parcial de f em relação a x_i, quando o limite existe, é

f_{x_i}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \ldots, x_i + h, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}

De forma mais simples, seja f(x,y). As derivadas parciais de f em (x,y) são os limites:

f_x(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}, \quad f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}, quando existem. Em f_x só a primeira coordenada varia; em f_y só a segunda.

f_x é a derivada comum de f enxergando y como constante. A lógica é a mesma para f_y.

Comparando com a derivada de uma variável: f_x(x,y) = g'(x), onde g(t) = f(t,y) com y fixo. “Congelar” a outra variável é o conteúdo dessa definição.

1.0.2 Notações

Todas as notações abaixo são equivalentes.

f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = D_x f

Para as demais variáveis vale a mesma notação, trocando x por y, z, etc. O símbolo \partial é lido como “del” e indica que estamos derivando parcialmente. Ela distingue a derivada parcial da derivada total \frac{d}{dx}. A notação \frac{\partial f}{\partial x} é mais explícita, indicando que estamos derivando parcialmente em relação a x e considerando as outras variáveis como constantes.

1.0.3 Análise geométrica

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